Tenho bastante problemas ou Tenho bastantes problemas?
Bastante, como muito, pode funcionar seja como advérbio, sendo então invariável, seja como adjetivo, devendo então concordar com o substantivo a que se refere. Quando houver dúvida em relação a bastante antes de palavra no plural, pode-se colocar muito no lugar. Se muito for para o plural, o mesmo deverá ocorrer com bastante:
Tenho bastantes (muitos) problemas.
Elas estão bastante (muito) cansadas.

Ela está meia cansada ou Ela está meio cansada?
Meio também pode funcionar como advérbio ou adjetivo. Para se ter certeza do emprego correto, pode-se fazer o mesmo que se sugeriu para bastante: substituir por muito.
Ela está meio (muito) cansada.
Não é pessoa de meias (muitas) palavras.

Meio-dia e meio ou Meio-dia e meia?
Como se trata de meia hora, e não de outro meio-dia, a forma correta é MEIO-DIA E MEIA.
Ela marcou o almoço ao meio-dia e meia.
A viagem durou um dia e meio.

Mal cheiro ou Mau cheiro?
Mal opõe-se a bem e mau, a bom. Assim: mau cheiro (bom cheiro), mal-humorado (bem-humorado).
Igualmente: mau humor, mal-intencionado, mau jeito, mal-estar.

Fazem ou Faz cinco anos?
Fazer, quando exprime tempo, é impessoal: Faz dois séculos./ Fazia dois séculos./ Fez 15 dias.

Houveram ou Houve muitos acidentes?
Haver, como existir, também é invariável: Houve muitos acidentes./ Havia muitas pessoas./ Deve haver muitos casos iguais.

Existe ou Existem muitas espécies?
Existir, bastar, faltar, restar e sobrar admitem normalmente o plural: Existem muitas espécies./ Bastariam dois dias./ Faltavam poucas peças./ Restaram alguns objetos./ Sobravam ideias.

Para mim fazer ou Para eu fazer?
Mim não faz, porque não pode ser sujeito.
Assim: Para eu fazer, para eu dizer, para eu trazer.